Artysta uznawany jest za jeden z emblematów skandynawskiego jazzu. Nie od początku jednak był jazzem zainteresowany. Odebrał klasyczną edukację muzyczną studiując w Oslo i Paryżu pod okiem cenionych pedagogów: Roberta Rieflinga i Amalie Christie. Na profesjonalnej scenie debiutował jako solista w Koncercie nr. 3 Beli Bartoka. Dopiero później usłyszawszy „In A Silent Way” Milesa Davisa zainteresował się inną muzyką. Od tego czasu wziął udział w niezliczonych sesjach nagraniowych i koncertach zespołów, nie tylko z kręgu muzyki improwizowanej, ale również rocka i folku. Nagrał z nimi, a także pod własnym nazwiskiem, ponad 30 płyt, wśród nich m.in. wysoko cenione tytuły wydane przez Emarcy/Universal i ECM, dla której regularnie nagrywa od 1993r. towarzyszyli mu m.in. jedni z najbardziej intrygujących twórców „stajni” Manfreda Eichera: wiolonczelista David Darling, gitarzysta Terje Rypdal czy popularny trębacz Nils-Peter Molvaer. Płyty pod własnym nazwiskiem, w roli sidemana, muzyka do filmów (m.in. do obrazów Jean-Luca Godarda) to nie jedyne pasje Bjornstada. Od 1972r., kiedy to zadebiutował jako pisarz zbiorem poematów Aschehoug, jego prace pisarskie (powieści, wiersze, eseje) tłumaczone są na wiele języków i wysoko cenione w kręgach literackich. Nie bez powodu często mówi się o nim jako o człowieku Renesansu i bezwzględnie jednym z najbardziej niezwykłych ludzi sztuki w Norwegii.